English · Español · Português · Français · Deutsch · Bahasa Indonesia · Polski · Türkçe

Признаки делимости

Как быстро узнать, делится ли число на 2, 3 и так далее до 12, не выполняя деления.

1. 2571 ÷ 3?
2. 2 + 5 + 7 + 1 = 15
3. 15 = 3 × 5
4. 2571 = 3 × 857

Делимость на 2

Последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8.

3574 оканчивается на 4, а 4 — чётная цифра, значит, 3574 = 2 × 1787.

Делимость на 3

Сложи цифры. Если сумма делится на 3, то и число делится.

2 + 5 + 7 + 1 = 15, а 15 = 3 × 5, значит, 2571 = 3 × 857.

Делимость на 4

Посмотри на две последние цифры. Если образованное ими число делится на 4, то и всё число делится.

Две последние цифры — 16, а 16 = 4 × 4, значит, 7316 = 4 × 1829.

Делимость на 5

Последняя цифра — 0 или 5.

4385 оканчивается на 5, значит, 4385 = 5 × 877.

Делимость на 6

Число чётное и делится на 3: выполняются оба признака, для 2 и для 3.

4722 чётное, а 4 + 7 + 2 + 2 = 15 делится на 3, значит, 4722 = 6 × 787.

Делимость на 7

Удвой последнюю цифру и вычти из оставшегося числа. Если результат делится на 7, то и число делится. Для больших чисел повтори.

Удвоенная 8 — это 16, а 86 − 16 = 70 = 7 × 10, значит, 868 = 7 × 124.

Делимость на 8

Посмотри на три последние цифры. Если образованное ими число делится на 8, то и всё число делится.

Три последние цифры — 128, а 128 = 8 × 16, значит, 5128 = 8 × 641.

Делимость на 9

Сложи цифры. Если сумма делится на 9, то и число делится.

6 + 1 + 7 + 4 = 18, а 18 = 9 × 2, значит, 6174 = 9 × 686.

Делимость на 10

Последняя цифра — 0.

3450 оканчивается на 0, значит, 3450 = 10 × 345.

Делимость на 11

Начиная слева, поочерёдно вычитай и прибавляй цифры. Если получится 0 или число, кратное 11, то и число делится.

2 − 7 + 2 − 8 = −11, а это делится на 11, значит, 2728 = 11 × 248.

Делимость на 12

Число делится и на 3, и на 4: выполняются оба признака.

Две последние цифры, 48, делятся на 4, а 1 + 5 + 4 + 8 = 18 делится на 3, значит, 1548 = 12 × 129.

Почему работают признаки делимости на 3 и 9

Каждая степень 10 на единицу больше числа, кратного 9: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Поэтому 2571 = 2 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 плюс 2 + 5 + 7 + 1. Первая часть всегда делится на 9, а значит, и на 3, так что всё решает сумма цифр.

Проверь себя: делится или нет?

Частые вопросы

Зачем нужны признаки делимости?

Чтобы быстро находить делители: при сокращении дробей, при поиске пар множителей и чтобы проверить, простое ли число.

Есть ли простой признак делимости на 7?

Не такой простой, как остальные. Правило «удвой и вычти» работает, но для небольших чисел часто быстрее знать таблицу на 7 и считать от ближайшего кратного.