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Critères de divisibilité

Des façons rapides de savoir si un nombre est divisible par 2 jusqu’à 12, sans faire la division.

1. 2571 ÷ 3 ?
2. 2 + 5 + 7 + 1 = 15
3. 15 = 3 × 5
4. 2571 = 3 × 857

Divisible par 2

Le dernier chiffre est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.

3574 finit par 4, qui est pair, donc 3574 = 2 × 1787.

Divisible par 3

Additionne les chiffres. Si la somme est divisible par 3, le nombre l’est aussi.

2 + 5 + 7 + 1 = 15, et 15 = 3 × 5, donc 2571 = 3 × 857.

Divisible par 4

Regarde les deux derniers chiffres. S’ils forment un nombre divisible par 4, le nombre entier l’est aussi.

Les deux derniers chiffres sont 16, et 16 = 4 × 4, donc 7316 = 4 × 1829.

Divisible par 5

Le dernier chiffre est 0 ou 5.

4385 finit par 5, donc 4385 = 5 × 877.

Divisible par 6

Il est pair et divisible par 3 : les critères de 2 et de 3 marchent tous les deux.

4722 est pair, et 4 + 7 + 2 + 2 = 15 est divisible par 3, donc 4722 = 6 × 787.

Divisible par 7

Double le dernier chiffre et soustrais-le au reste du nombre. Si le résultat est divisible par 7, le nombre l’est aussi. Recommence pour les grands nombres.

Le double de 8 est 16, et 86 − 16 = 70 = 7 × 10, donc 868 = 7 × 124.

Divisible par 8

Regarde les trois derniers chiffres. S’ils forment un nombre divisible par 8, le nombre entier l’est aussi.

Les trois derniers chiffres sont 128, et 128 = 8 × 16, donc 5128 = 8 × 641.

Divisible par 9

Additionne les chiffres. Si la somme est divisible par 9, le nombre l’est aussi.

6 + 1 + 7 + 4 = 18, et 18 = 9 × 2, donc 6174 = 9 × 686.

Divisible par 10

Le dernier chiffre est 0.

3450 finit par 0, donc 3450 = 10 × 345.

Divisible par 11

De gauche à droite, soustrais et additionne les chiffres tour à tour. Si le résultat vaut 0 ou est divisible par 11, le nombre l’est aussi.

2 − 7 + 2 − 8 = −11, qui est divisible par 11, donc 2728 = 11 × 248.

Divisible par 12

Il est divisible par 3 et par 4 : les deux critères marchent.

Les deux derniers chiffres, 48, sont divisibles par 4, et 1 + 5 + 4 + 8 = 18 est divisible par 3, donc 1548 = 12 × 129.

Pourquoi les critères de 3 et de 9 marchent

Chaque puissance de 10 vaut un de plus qu’un multiple de 9 : 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Donc 2571, c’est 2 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9, plus 2 + 5 + 7 + 1. La première partie est toujours divisible par 9, donc par 3 : seule la somme des chiffres décide.

À toi : divisible ou pas ?

Questions fréquentes

À quoi servent les critères de divisibilité ?

À trouver vite des diviseurs : simplifier des fractions, trouver des paires de facteurs et savoir si un nombre est premier.

Y a-t-il un critère facile pour 7 ?

Pas aussi facile que les autres. Celui du double à soustraire marche, mais pour les petits nombres il est souvent plus rapide de connaître la table de 7 et de compter depuis le multiple le plus proche.